triangulo de pascal

TRIANGULOS DE PASCAL

TRIANGULO DE PASCAL

Triángulo de Pascal para n=10. En las matemáticas, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma de triángulo. Es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique.1​ Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos, persas, alemanes e italianos, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.2​

¿COMO SE CONSTRUYE EL TRIANGULO DE PASCAL?

Cada linea se construye a partir de la anterior.

Con excepción de los números 1, que siempre están en los extremos, cada número es igual a la suma de los dos números que tiene por encima.

Propiedades del triángulo de pascal

Las aplicaciones del famoso triángulo ya las conocían los matemáticos indios (siglo XI), chinos y persas. Pero fue el filósofo y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) el primero en organizar muchas propiedades de manera conjunta, escribiendo el primer tratado sobre esta disposición numérica.

En Italia todos lo conocen como el triángulo de Tartaglia, en honor al algebrista italiano, unos de los principales matemáticos del siglo XVI y seguramente el primero en publicarlo en Europa.

Infinito y simétrico

No tiene fin y es simétrico respecto al eje vertical. Se puede leer igualmente empezado por la izquierda que por la derecha.

Potencias cuadradas

La suma de todos los valores de cualquier fila del triángulo, es igual a una potencia de 2. La primera fila se denomina fila cero.

Potencia de una suma

Observa con atención y verás cómo cada fila del triángulo de Pascal corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio

Esta propiedad es muy utilizada en matemáticas. Es uno de los errores típicos de álgebra que cometen los estudiantes. Conociendo este triángulo numérico, es difícil que te equivoques.

APLICACIONES DE UN TRIANGULO DE PASCAL

Los números en el triángulo de Pascal ofrecen un atajo al expandir los binomios elevados a la n potencia. Los números en la línea n del Triángulo de Pascal enlistan los coeficientes de la expansión de (a + b)^n. Por ejemplo, la cuarta línea del triángulo de Pascal es "1 4 6 4 1"; la expansión del binomio (a + b)^4 es 1x^4 + 4x^3_y + 6x^2_y^2 + 4x*y^3 + 1y^4.

Combinaciones

El triángulo de Pascal también contiene un atajo para encontrar el valor de una combinación nCr, que es el número de subgrupos con r miembros de un grupo con n miembros. Las combinaciones son una operación básica en Combinatoria, la rama de la matemática que involucra contar grupos de elementos discretos. Por ejemplo, el número de manos posibles de cinco cartas de una baraja de 52 es 52C5. El quinto valor de la línea 52º da el valor de esta combinación: 259.860.

Probabilidad

El triángulo de Pascal es usado para calcular probabilidades con resultados binomiales, como la probabilidad de tener un niño o una niña. En una serie de n resultados binomiales, como tener n niños, el número de resultados en el que uno de los eventos de los binomios ocurra k veces, es igual a la entrada k-ésima entrada en la línea n del triángulo de Pascal. Por ejemplo, una familia que tiene cinco hijos tiene un total de 2^5 o 32 posibles combinaciones niño-niña. La quinta línea del triángulo de Pascal es "1 5 10 10 5 1". Estos valores indican el número de resultados con 0, 1, 2, 3, 4 y 5 niñas, en ese orden.

Series de números

El triángulo de Pascal también es notable por contener varias series de números importantes como patrones en su forma. Las series de números triangulares 1, 3, 6, 10, 15 y así corresponde a las sumas de los enteros consecutivos: 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 y así. Los números triangulares se encuentran en la tercera columna del triángulo de Pascal. Colorear todos los números impares en el Triángulo con un número infinito de líneas crea el triángulo de Sierpinski, un patrón fractal famoso.